1 置換積分でよく使う2つの形
1.1 今日の確認
置換積分では、次の2つの形がとても重要である。
\int f(x)^\alpha f'(x)\,dx = \frac{1}{\alpha+1}f(x)^{\alpha+1}+C \qquad (\alpha\neq -1)
および
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)|+C.
どちらも
t=f(x)
と置換すればよい。
1.2 1. べき乗型
まず
\int f(x)^\alpha f'(x)\,dx
を考える。
ここで
t=f(x)
とおくと、
\frac{dt}{dx}=f'(x)
なので、
dt=f'(x)\,dx
である。
したがって
\int f(x)^\alpha f'(x)\,dx = \int t^\alpha\,dt.
よって、\alpha\neq -1 のとき
\int t^\alpha\,dt = \frac{1}{\alpha+1}t^{\alpha+1}+C.
t=f(x) に戻すと、
\int f(x)^\alpha f'(x)\,dx = \frac{1}{\alpha+1}f(x)^{\alpha+1}+C.
1.3 2. 例：べき乗型
次を計算する。
\int 2x(x^2+1)^3\,dx
ここで
f(x)=x^2+1
と見ると、
f'(x)=2x
である。
したがって
\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \frac{1}{4}(x^2+1)^4+C.
1.4 3. 対数型
次に
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx
を考える。
ここでも
t=f(x)
とおくと、
dt=f'(x)\,dx
である。
したがって
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \int \frac{1}{t}\,dt.
よって
\int \frac{1}{t}\,dt = \log|t|+C.
t=f(x) に戻すと、
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)|+C.
1.5 4. 例：対数型
次を計算する。
\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx
ここで
f(x)=x^2+1
と見ると、
f'(x)=2x
である。
したがって
\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \log|x^2+1|+C.
ただし、x^2+1>0 なので、
\log|x^2+1| = \log(x^2+1)
である。
よって
\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \log(x^2+1)+C.
1.6 5. 微分で確認する
公式は、右辺を微分して確認できる。
例えば
\frac{d}{dx}\log|f(x)| = \frac{f'(x)}{f(x)}
である。
したがって
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)|+C
である。
1.7 6. まとめ
置換積分では、次の形を見つけることが大切である。
f(x)^\alpha f'(x)
の形なら
\int f(x)^\alpha f'(x)\,dx = \frac{1}{\alpha+1}f(x)^{\alpha+1}+C \qquad (\alpha\neq -1)
である。
また、
\frac{f'(x)}{f(x)}
の形なら
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)|+C
である。
どちらも
t=f(x)
と置換すればよい。